Průhyb a napětí desek.Průhyb a napětí desek.Tento výpočet řeší průhyb, napětí a průběh sil v zatížených rovinných deskách. Výpočet je určen pro desky homogenní, stejné tloušťky a z jednoho materiálu. Desky mohou být kruhové, kruhové s otvorem a pravoúhlé. Desky mohou být zatíženy rovnoměrně (nerovnoměrně) po celé ploše (nebo její části) nebo mohou být zatíženy silou působící spojitě na kružnici. Program umožňuje:
Volbu z kruhových, mezikruhových nebo obdélníkových desek
Volbu různých způsobů zatížení (spojité, silou...)
Výpočet průhybu, natočení, momentu a napětí v libovolném bodě
Zobrazení grafů průběhu počítaných veličin
Výpočet koeficientu bezpečnosti
Výpočet minimální tloušťky desky či maximálního zatížení
Ve výpočtu jsou použita data, postupy, algoritmy a údaje z odborné literatury (Roark formulas, Machinery's Handbook 26th, Teorie desek a skořepin [doc. Ing. Ladislav Šubrt, CSc.] a dalších)
Uživatelské rozhraní.
Stáhnout.
Ceník, koupit.
Informace o syntaxi a ovládání výpočtu naleznete v dokumentu "Ovládání, struktura a syntaxe výpočtů".
Informace o účelu, použití a ovládání odstavce "Informace o projektu" naleznete v dokumentu "Informace o projektu".
Deska je konstrukční prvek rovinného charakteru (dva rozměry jsou násobně větší než třetí - tloušťka) namáhaný především na ohyb. Rozdělení desek podle tvaru je na kruhové, obdelníkové a obecných tvarů. Pro představu namáhání můžeme vyjít z kruhové rotačně symetrické desky, z níž vyjmeme element a zobrazíme příslušná napětí, která se mohou vyskytnout.
Průběh normálových napětí sr, st předpokládáme lineární, s neutrální osou, která není uprostřed tloušťky desky.
Vyjdeme-li z tohoto předpokladu, můžeme rozložit normálové napětí (jak radiální, tak tečné) do dvou složek.
- Ohybové napětí (průběh jako při prostém ohybu) -
sr',
st'
- Membránové napětí (napětí je konstantní po celé tloušťce desky)
- sr'',
st''
Pak normálové napětí sr
= sr' +
sr'' resp.
st =
st' +
st''
a namáhání elementu A je pak možné zobrazit následovně:
Obdobně je možné rozkreslit napjatost i u jiných, složitějších případů - např. desek rotačně nesymetrických, obdélníkových atd. Tyto případy by se lišily od tohoto případu pouze tím, že by přibyly další složky smykových napětí t. Jednotlivé složky napětí pak mají za následek vznik jim odpovídajících typů deformací.
A. Ohybová napětí mají za důsledek pootáčení úseček popř. celých
průřezů.
B. Membránová napětí mají za důsledek prodlužování (resp. zkracování)
jednotlivých elementů desky.
C. Smyková napětí mají za důsledek zkosení jednotlivých elementů. Protože po
tloušťce desky je uspořádána řada těchto elementů nad sebou, dojde v důsledku
zkosení jednotlivých elementů k zprohýbání původně přímých kolmic ke střední
ploše desky.
Na základě těchto poznatků je možné rozdělit desky na jednotlivé skupiny podle
namáhání a to:
desky tlusté
desky střední tloušťky (Kirchhoffovy)
desky tenké (s velkými průhyby)
membrány
Přičemž "tloušťka desky" je zde myšlena ve vztahu k namáhání, k převažujícím napětím a tím i postupu řešení.
Průhyby tlusté desky jsou velmi malé a proto lze zanedbat prodloužení vláken po deformaci. Protože prodloužení vláken je způsobováno membránovými napětími, můžeme zřejmě zanedbat membránová napětí. Ohybová napětí jsou však v důsledku velké tloušťky desky též malá a jsou proto srovnatelná se smykovými napětími. Při řešení se tedy uvažuje s namáháním na ohyb a smyk. Jelikož smyk má za následek zprohýbání úseček kolmých ke střední ploše desky, je teoretické řešení komplikovanější. Tento typ desek není v běžných strojních konstrukcích často používán.
Tyto desky již mají menší tloušťku, což vede k tomu, že ohybová napětí jsou větší a převládají nad napětím smykovým. Lze proto zanedbat smyková napětí i jejich důsledek, jímž je prohýbání původně přímých kolmic ke střední ploše desky. Na druhé straně průhyb není ještě tak veliký, aby docházelo k významnějšímu prodlužování vláken střední plochy (plocha půlící desku v polovině tloušťky). Proto je možné zanedbat také membránové napětí. U těchto desek je uvažováno pouze namáhání ohybem s lineárním rozdělením ohybových napětí po tloušťce desky a s nulovým ohybovým napětím ve střední ploše desky. Je to výpočetně nejjednodušší typ desek. Také v praxi se počítá naprostá většina desek podle výpočtových postupů, vypracovaných pro desky střední tloušťky, ač to není vždy zcela oprávněné.
U těchto desek je vliv smyku ještě méně významný než u desek "střední tloušťky" a proto jej i jeho účinky můžeme opět zanedbat. Ohyb musíme uvažovat a navíc přistoupí vliv membránových napětí, která se u tenkých desek již nedají zanedbat. Je to způsobeno tím, že zde nastávají větší průhyby, což se neobejde bez délkových změn vláken střední plochy. Tyto délkové změny souvisí s působením membránových napětí. Membránová napětí však vznikají i v případě posuvného uložení. Okraje by se pak k sobě sice mohly přiblížit, avšak při deformaci se původně rovinná deska mění v nerozvinutelnou rotační plochu, což se neobejde bez délkových zrněn jednotlivých vláken střední plochy. U tenkých desek tedy uvažujeme napětí ohybová a membránová i v případě posuvného uložení. Tento typ desky je navíc nelineární, tj. deformace a napětí nejsou přímo úměrné zatížení a to i když platí lineární Hookův zákon. Jedná se o tzv. geometrickou nelinearitu, vznikající v důsledku velkých deformací - konkrétně v důsledku velkých úhlů pootočení.
Membrány jsou desky tak tenké, že jejich ohybová tuhost je zanedbatelná (a tedy i ohybová napětí) a uvažuje se pouze namáhání na tah (např. různé pryžové tlakoměrné membrány). V důsledku velkých deformací jsou opět geometricky nelineární.
Toto dělení desek není samozřejmě nijak pevné, ale pouze poukazuje na určité možnosti zjednodušení, které umožňuje i zjednodušení analytického řešení při zachování vyhovující přesnosti vzhledem k nepřesnostem ostatním (nepřesnosti uložení, zpracování, materiálové konstanty atd.)
Na obrázku je zobrazena závislost bezrozměrného průhybu "y/t" na bezrozměrném zatížení "q*a^4/(E*t^4)"., kde:
y...maximální průhyb
t...tloušťka desky
q...spojité zatížení
a...poloměr desky
E...modul pružnosti v tahu
a jednotlivé křivky pak znázorňují:
B) Desky střední tloušťky (Kirchhoffovy)
C) Desky tenké (s velkými průhyby)
D) Membrány
Z obrázku je vidět, že pro velmi malé bezrozměrné průhyby je možné použít zjednodušení přijatá pro "Desky střední tloušťky". Pro větší bezrozměrný průhyb je pak nutné použít typ výpočtu pro "Tenké desky".
Z obrázku je také zřejmé, že není možné jednoznačně určit hranice jednotlivých výpočtových modelů. Záleží na tom, jak velkou chybu jsme ochotni tolerovat. Je-li přípustná chyba označena jako delta, je pak možné určit i příslušné hranice jednotlivých výpočtových modelů. Podobně jako u průhybu (viz. obrázek) je pak možné postupovat i pro napětí.
Pro praktické aplikace je vhodné znát alespoň zhruba polohu hranice mezi výpočtovými modely (B a C). Při požadavku chyby do 5% by měl být průhyb menší než jedna třetina tloušťky desky, při chybě do 10% by měl být průhyb menší než jedna polovina tloušťky desky.
Přibližný odhad chyby v závislosti na průhybu vztaženému k tloušťce desky:
| Průhyb v % tloušťky | chyba v % |
| 10% | 0.5% |
| 25% | 3% |
| 33% | 5% |
| 50% | 10% |
| 75% | 20% |
| 100% | 30% |
Při použití výpočtového modelu B (Desky střední tloušťky) a při větším bezrozměrném průhybu (průhyb vztažený na tloušťku) pak chyba prudce narůstá, jak je zřejmé z obrázku. I když je chyba na straně bezpečnosti, vede použití nevhodného výpočtu ke zbytečně předimenzovaným a těžkým konstrukcím.
Výpočty a použité vzorce jsou založeny na následujících předpokladech.
Desky jsou rovinné, stejné tloušťky z homogenního isotropického materiálu.
Tloušťka desky není větší než jedna čtvrtina nejmenšího příčného rozměru. Pro kruhové desky není větší než 1/5 poloměru (při větším nároku na přesnost 1/10 poloměru).
Všechny síly, zatížení a reakce jsou kolmé k normále plochy desky.
Deska není zatěžována za hranicí elasticity (platí lineární Hookův zákon).
Při řešení průhybu (napětí, bezpečnost) kruhové nebo obdélníkové desky postupujte následovně.
Vyberte materiál desky, resp. zadejte materiálové hodnoty [1.0]
Podle typu desky (kruhová, mezikruží, obdélník) zvolte příslušný odstavec výpočtu [2.0, 3.0, 4.0]
Zvolte uložení desky a způsob zatížení [2.1, 3.1, 4.1]
Zadejte rozměry a zatížení a spusťte výpočet [2.8, 3.9]
Pokud je průhyb desky větší než polovina její tloušťky, zvolte pro výpočet odstavec [5.0 resp. 6.0]
Pokud nevyhovuje průhyb či koeficient bezpečnosti, změňte rozměry desky a výpočet opakujte.
V tomto odstavci zvolte jednotky výpočtu a vyberte materiál navrhované/kontrolované desky.
Ve výběrovém seznamu vyberte požadovanou soustavu jednotek výpočtu. Při přepnutí jednotek budou okamžitě přepočítány všechny hodnoty.
Z výběrového seznamu vyberte vhodný materiál desky. Pokud jsou materiálové konstanty vašeho materiálu odlišné od materiálových konstant uvedených na řádku [1.3-1.8], odškrtněte zaškrtávací tlačítko na řádku [1.3] a zadejte vlastní materiálové hodnoty.
Zvolte požadovaný koeficient bezpečnosti. Na vlastní výpočet průhybu či napětí volba koeficientu bezpečnosti nemá vliv. Koeficient bezpečnosti má vliv na návrh maximálního zatížení [2.5, 3.6, 4.6] nebo minimální tloušťky desky [2.2, 3.2, 4.2]. Zároveň je kontrolováno překročení dílčích koeficientů bezpečnosti v jednotlivých odstavcích.
Tímto výpočtem je možné zjistit průběh průhybu, napětí, natočení u kruhových desek střední tloušťky a to včetně maximálních hodnot. Zároveň je možné navrhnout minimální tloušťku resp. maximální zatížení, které je možné na desku použít. Protože je u tohoto typu výpočtu zanedbáno membránové napětí (viz. teoretická část), je nutné kontrolovat maximální průhyb, který by měl být menší než polovina tloušťky desky. Pro průhyb větší než 1/2 tloušťky desky použijte výpočet v odstavci [5.0].
Ve výběrovém seznamu vyberte takový typ desky, který odpovídá vašim zatěžujícím a okrajovým podmínkám. Po výběru je zobrazen schematický náčrt desky.
Zadejte tloušťku desky, vnější poloměr resp. vnitřní poloměr. Tloušťka desky by měla být menší než 1/5 poloměru (při větším nároku na přesnost 1/10 poloměru). Pokud stisknete tlačítko "<min", je na základě zadaného požadovaného koeficientu bezpečnosti a meze pevnosti v kluzu doplněna odpovídající tloušťka desky. V každém případě je nutné zkontrolovat maximální hodnotu průhybu.
Zadejte poloměr zatížení. Podle typu zatížení je poloměr zatížení vyhodnocen následovně:
Spojité zatížení: Spojité zatížení (konstantní nebo lineárně stoupající) působí od okraje desky k zadanému poloměru zatížení. Poloměr zatížení může být roven 0 respektive vnitřnímu poloměru u kruhových desek s otvorem.
Kruhové zatížení silou: Síla působí rovnoměrně po kružnici zadaného poloměru. V případě, že je poloměr zatížení menší než polovina tloušťky desky, je nahrazen takzvaným ekvivalentním poloměrem ro' = (1.6*ro^2 + t^2)^0.5 - 0.675*t, což umožňuje použití tradičních vzorců pro výpočet napětí.
Zadejte velikost síly, která působí spojitě na poloměru zatížení. Při jiném typu zatížení než silou je vstupní pole šedivé. Pokud stisknete tlačítko "<max", je na základě zadaného požadovaného koeficientu bezpečnosti a meze pevnosti v kluzu doplněna maximální síla. V každém případě je nutné zkontrolovat maximální hodnotu průhybu.
Zatížení je možné zadat dvěma způsoby. Buď jako tlak nebo jako celkovou sílu, která vznikne působením tlaku na plochu desky. Způsob zvolte přepínačem na tomto řádku. Pokud stisknete tlačítko "<max", je na základě zadaného požadovaného koeficientu bezpečnosti a meze pevnosti v kluzu doplněn maximální tlak (síla). V každém případě je nutné zkontrolovat maximální hodnotu průhybu.
Zadejte teplotní rozdíl mezi vrchní a spodní stranou desky.
Hmotnost desky je možné využít například pro zjištění spojitého zatížení od vlastní hmotnosti.
Po změně vstupních údajů je nutné přepočítat výsledky. Program postupně počítá všechny hodnoty v padesáti bodech od r=0 do r=a (resp. od r=b do r=a pro desku s otvorem). Tyto hodnoty jsou vyplněny do tabulky a z nich je pak zjišťována i minimální resp. maximální hodnota průhybu a napětí (viz. výsledky na následujících řádcích ymax, smax, SFmin). Tyto tabulkové hodnoty jsou také použity pro zobrazení grafu.
Maximální průhyb desky by měl být menší než jedna poloviny její tloušťky. Při větších hodnotách rychle narůstá chyba výsledku vzhledem k metodě výpočtu. Detaily naleznete v teoretické části nápovědy.
Do vstupního pole zadejte poloměr r, na kterém chcete zjistit hodnoty průhybu, natočení, napětí atd. Příslušné výsledky naleznete na následujících řádcích. V zeleném poli je rozsah poloměru r, který je možné zadat. Posuvníkem vpravo můžete jednoduše měnit hodnotu poloměru r, poloha je vyznačena v grafu svislou červenou čarou.
Zobrazení hodnot v grafu zvolte z rozbalovacího seznamu nad posuvníkem.
Na řádku jsou vypsány okrajové podmínky, které platí pro daný typ desky a její uložení a zatížení.
Tímto výpočtem je možné zjistit průběh průhybu, napětí, natočení u kruhových desek s otvorem ve středu a to včetně maximálních hodnot. Desky jsou střední tloušťky. Zároveň je možné navrhnout minimální tloušťku resp. maximální zatížení, které je možné na desku použít. Protože je u tohoto typu výpočtu zanedbáno membránové napětí (viz. teoretická část), je nutné kontrolovat maximální průhyb, který by měl být menší než polovina tloušťky desky. Při větším průhybu chyba výpočtu rychle narůstá (viz teoretická část nápovědy).
Ve výběrovém seznamu vyberte takový typ desky, který odpovídá vašim zatěžujícím a okrajovým podmínkám. Po výběru je zobrazen schematický náčrt desky.
Zadejte tloušťku desky, vnější poloměr resp. vnitřní poloměr. Tloušťka desky by měla být menší než 1/5 poloměru (při větším nároku na přesnost 1/10 poloměru). Pokud stisknete tlačítko "<min", je na základě zadaného požadovaného koeficientu bezpečnosti a meze pevnosti v kluzu doplněna odpovídající tloušťka desky. V každém případě je nutné zkontrolovat maximální hodnotu průhybu.
Zadejte poloměr zatížení. Podle typu zatížení je poloměr zatížení vyhodnocen následovně:
Spojité zatížení: Spojité zatížení (konstantní nebo lineárně stoupající) působí od okraje desky k zadanému poloměru zatížení. Poloměr zatížení může být roven 0 respektive vnitřnímu poloměru u kruhových desek s otvorem.
Kruhové zatížení silou: Síla působí rovnoměrně po kružnici zadaného poloměru. V případě, že je poloměr zatížení menší než polovina tloušťky desky, je nahrazen takzvaným ekvivalentním poloměrem ro' = (1.6*ro^2 + t^2)^0.5 - 0.675*t, což umožňuje použití tradičních vzorců pro výpočet napětí.
Zadejte velikost síly, která působí spojitě na poloměru zatížení. Při jiném typu zatížení než silou je vstupní pole šedivé. Pokud stisknete tlačítko "<max", je na základě zadaného požadovaného koeficientu bezpečnosti a meze pevnosti v kluzu doplněna maximální síla. V každém případě je nutné zkontrolovat maximální hodnotu průhybu.
Zatížení je možné zadat dvěma způsoby. Buď jako tlak nebo jako celkovou sílu, která vznikne působením tlaku na plochu desky. Způsob zvolte přepínačem na tomto řádku. Pokud stisknete tlačítko "<max", je na základě zadaného požadovaného koeficientu bezpečnosti a meze pevnosti v kluzu doplněn maximální tlak (síla). V každém případě je nutné zkontrolovat maximální hodnotu průhybu.
Zadejte teplotní rozdíl mezi vrchní a spodní stranou desky.
Hmotnost desky je možné využít například pro zjištění spojitého zatížení od vlastní hmotnosti.
Po změně vstupních údajů je nutné přepočítat výsledky. Program postupně počítá všechny hodnoty v padesáti bodech od r=0 do r=a (resp. od r=b do r=a pro desku s otvorem). Tyto hodnoty jsou vyplněny do tabulky a z nich je pak zjišťována i minimální resp. maximální hodnota průhybu a napětí (viz. výsledky na následujících řádcích ymax, smax, SFmin). Tyto tabulkové hodnoty jsou také použity pro zobrazení grafu.
Maximální průhyb desky by měl být menší než jedna poloviny její tloušťky. Při větších hodnotách rychle narůstá chyba výsledku vzhledem k metodě výpočtu. Detaily naleznete v teoretické části nápovědy.
Do vstupního pole zadejte poloměr r, na kterém chcete zjistit hodnoty průhybu, natočení, napětí atd. Příslušné výsledky naleznete na následujících řádcích. V zeleném poli je rozsah poloměru r, který je možné zadat. Posuvníkem vpravo můžete jednoduše měnit hodnotu poloměru r, poloha je vyznačena v grafu svislou červenou čarou.
Zobrazení hodnot v grafu zvolte z rozbalovacího seznamu nad posuvníkem.
Na řádku jsou vypsány okrajové podmínky, které platí pro daný typ desky a její uložení a zatížení.
Tímto výpočtem je možné zjistit maximální průhyb a maximální napětí u obdélníkových desek. Desky jsou střední tloušťky. Maximální průhyb desky by měl být do jedné poloviny její tloušťky. Pro průhyb větší než 1/2 tloušťky desky použijte výpočet v odstavci [6.0]. Při větším průhybu chyba výpočtu rychle narůstá (viz teoretická část nápovědy).
Ve výběrovém seznamu vyberte takový typ desky, který odpovídá vašim zatěžujícím a okrajovým podmínkám. Po výběru je zobrazen schematický náčrt desky.
Zadejte tloušťku desky, delší a kratší stranu. Tloušťka desky by měla být menší než 1/4 nejmenšího příčného rozměru (při větším nároku na přesnost 1/10). Pokud stisknete tlačítko "<min", je na základě zadaného požadovaného koeficientu bezpečnosti a meze pevnosti v kluzu doplněna odpovídající tloušťka desky. V každém případě je nutné zkontrolovat maximální hodnotu průhybu.
Síla působí rovnoměrně po kružnici zadaného poloměru. V případě, že je poloměr zatížení menší než polovina tloušťky desky, je nahrazen takzvaným ekvivalentním poloměrem ro' = (1.6*ro^2 + t^2)^0.5 - 0.675*t, což umožňuje použití tradičních vzorců pro výpočet napětí.
Zadejte velikost síly, která působí spojitě na poloměru zatížení. Při jiném typu zatížení než silou je vstupní pole šedivé. Pokud stisknete tlačítko "<max", je na základě zadaného požadovaného koeficientu bezpečnosti a meze pevnosti v kluzu doplněna maximální síla. V každém případě je nutné zkontrolovat maximální hodnotu průhybu.
Zatížení je možné zadat dvěma způsoby. Buď jako tlak nebo jako celkovou sílu, která vznikne působením tlaku na plochu desky. Způsob zvolte přepínačem na tomto řádku. Pokud stisknete tlačítko "<max", je na základě zadaného požadovaného koeficientu bezpečnosti a meze pevnosti v kluzu doplněn maximální tlak (síla). V každém případě je nutné zkontrolovat maximální hodnotu průhybu.
Hmotnost desky je možné využít například pro zjištění spojitého zatížení od vlastní hmotnosti.
Maximální průhyb desky by měl být menší než jedna poloviny její tloušťky. Při větších hodnotách rychle narůstá chyba výsledku vzhledem k metodě výpočtu. Detaily naleznete v teoretické části nápovědy.
Pokud ve výpočtu kruhových desek v odstavci [2.0] vyjde průhyb desky větší než 1/2 tloušťky desky, je vhodné řešit průhyb desky v tomto odstavci. V tomto výpočtu je zohledněno membránové napětí, což zvyšuje přesnost výpočtu.
Ve výběrovém seznamu vyberte takový typ desky, který odpovídá vašim zatěžujícím a okrajovým podmínkám. Po výběru je zobrazen schematický náčrt desky.
Zadejte tloušťku desky a vnější poloměr. Tloušťka desky by měla být menší než 1/5 poloměru (při větším nároku na přesnost 1/10 poloměru).
Zadejte velikost síly, která působí na malé kruhové ploše ve středu. Při jiném typu zatížení než silou je vstupní pole šedivé.
Zatížení je možné zadat dvěma způsoby. Buď jako tlak nebo jako celkovou sílu, která vznikne působením tlaku na plochu desky. Způsob zvolte přepínačem na tomto řádku.
Hmotnost desky je možné využít například pro zjištění spojitého zatížení od vlastní hmotnosti.
Pokud ve výpočtu obdélníkových desek v odstavci [4.0] vyjde průhyb desky větší než 1/2 tloušťky desky, je vhodné řešit průhyb desky v tomto odstavci. V tomto výpočtu je zohledněno membránové napětí, což zvyšuje přesnost výpočtu.
Ve výběrovém seznamu vyberte takový typ desky, který odpovídá vašim zatěžujícím a okrajovým podmínkám. Po výběru je zobrazen schematický náčrt desky.
Zadejte tloušťku desky, delší a kratší stranu. Tloušťka desky by měla být menší než 1/4 nejmenšího příčného rozměru (při větším nároku na přesnost 1/10).
Zatížení je možné zadat dvěma způsoby. Buď jako tlak nebo jako celkovou sílu, která vznikne působením tlaku na plochu desky. Způsob zvolte přepínačem na tomto řádku.
Hmotnost desky je možné využít například pro zjištění spojitého zatížení od vlastní hmotnosti.
Informace o nastavení parametrů výpočtu a nastavení jazyka naleznete v dokumentu "Nastavení výpočtů, změna jazyka".
Všeobecné informace o tom, jak je možné měnit a rozšiřovat sešity výpočtu, jsou uvedeny v dokumentu "Úpravy sešitu (výpočtu)".
^