Evolventní ozubení - teorie

Obsah:

• Geometrie, rozměry
• Moment, výkon, síly, účinnost
• Planetový převod
• Ozubený hřeben
• Napětí, bezpečnost
  ISO 6336:2006
• ISO 6336-1
• ISO 6336-2
• ISO 6336-3
• ISO 6336-5
• Napětí, bezpečnost  ANSI/AGMA 2001-D04

Evolventní ozubení - teorie

V této části jsou shrnuty některé teoretické informace a vzorce, které se týkají návrhu geometrie, výpočtu silových a výkonostních parametrů a pevnostní kontroly evolventního ozubení. Tyto podklady byly použity v následujících výpočtech.

Obsah:

1. Geometrie, rozměry
2. Moment, výkon, síly, účinnost
3. Planetový převod
4. Ozubený hřeben
5. Napětí, bezpečnost ISO 6336-2006
6. Napětí, bezpečnost ANSI/AGMA 2001-D04

1. Geometrie, rozměry

Použité vzorce (výpočet geometrie).

Některé nejdůležitější vzorce pro výpočet geometrie ozubení jsou uvedené níže. Ve vzorcích jsou použity indexy 1 a 2 pro pastorek a kolo (Planetové převody: centrální kolo / satelit, respektive satelit / korunové kolo). V případě vnitřního ozubení (Planetové převody: korunové kolo) je použita záporná hodnota počtu zubů vnitřního kola a tím i záporná hodnota osové vzdálenosti a průměrů.

V případě planetového převodu jsou na sobě navzájem jednotlivá kola závislá a je nutné řešit převod jako celek včetně příslušných omezujících podmínek (viz. dále).

Parametry základního profilu: mn (modul, DP pro palcový výpočet), a (úhel záběru), ha*, c*, rf* (parametry obráběcího nástroje)
Parametry pastorku a kola: z1, z2 (počet zubů pastorku a kola), x1, x2 (jednotkové posunutí), b (úhel sklonu zubů), b (šířka ozubení)

1. Převodový poměr
   i = z2 / z1
2. Modul
   mt = mn / cos(b) ... tečný
3. Rozteč
   p = p • mn ... normálná
   pt = p / cos(b) ... tečná
   ptb = pt • cos(at) ... základní
4. Úhel záběru
   at = arctg(tg(a) / cos(b)) ... čelní
   awn = arcinv(2 • (x1 + x2) / (z1 + z2) • tg(a) + inv(a)) ... valivý úhel záběru normálný
   awt = arcinv(2 • (x1 + x2) / (z1 + z2) • tg(a) + inv(at)) ... valivý úhel záběru čelní
5. Základní úhel sklonu
   bb = arcsin(sin(b) • cos(a))
6. Kružnice
   d = z • mt ... roztečná kružnice
   db = d • cos(at) ... základní kružnice
   dw = d • cos(at) / cos(awt) ... valivá kružnice
   da = mn • (z / cos(b) + 2 • (ha* + x - DY) ... hlavová kružnice
   df = d - hf ... patní kružnice
7. Osová vzdálenost
   a = (z1 + z2) • mn / (2 • cos(b)) ... roztečná
   av = a + (x1 + x2) • mn ... výrobní
   aw = a • cos(at) / cos(atw)  ... pracovní
   DY = (a - aw) / mn + (x1 + x2) ... jednotkové přisunutí kol
8. Součinitel trvání záběru
   e_a = ((da1^2 - db1^2)^0.5 + (da2^2 - db2^2)^0.5 - 2 • aw • sin(awt)) / (2 • p • cos(at) / cos(b)) ... Součinitel záběru v čelní rovině
   e_b = b / mn / p • sin(b) ... Součinitel záběru v osové rovině
   e_g = e_a + e_b ... Součinitel celkového záběru

Účinnost a ztráty.

Ztráty v planetovém převodu je možné rozdělit na ztráty volnoběhem a ztráty zatížením. Ztráty volnoběhem (mazáním, nezatížený záběr, ložiska) je obtížné určit analyticky a jsou běžně podstatně nižší než ztráty zatížením. Ztráty při zatížení vznikají při přenosu výkonu a jsou to:

Ztráty v ozubení

Přibližně je možné vyjádřit součinitel ztrát podle vzorce:

Přímé ozubení: zz = 0.5 • f • p • e • (1/z1 +- 1/z2)

Šikmé ozubení: zz = 0.25 / cos(b) • f • p • e • (1/z1 +- 1/z2)

kde:

z1, z2 - počty zubů
f - součinitel tření (0.04 - 0.08)
e - součinitel záběru
b - úhel sklonu zubů

Znaménko (+) pro vnější ozubení, (-) pro vnitřní.

Ztráty v ložiskách

Ztrátový výkon je možné určit ze vztahu:

PVL = w • F • f • r

kde:
w - úhlová rychlost
F - výsledné zatížení ložiska (unašeč, odstředivá síla)
f - součinitel tření (0.001 - 0.005)
r - střední poloměr ložiska

Poznámka: Součinitel tření (ozubení i ložiska) je ve výpočtu odhadován na základě zvoleného stupně přesnosti (drsnost ozubení) a použitého maziva.

Pro výpočet ztrát (účinnosti) planetového soukolí použijeme ztráty v porovnávacím převodu (zastavený unašeč) kde:

zr = zz0 / z1 + zz1 / z2; ir = z2 / z0

kde:

zz0/z1 - součinitel ztrát centrální kolo-satelit
zz1/z2 - součinitel ztrát satelit-korunové kolo

z0,z2 - počet zubů centrálního a korunového kola

Pro jednotlivé případy toku výkonu potom platí pro výpočet ztrát:

Poznámka: Detailní a přesné určení ztrát v planetovém mechanismu je náročné a závislé na detailních znalostech konstrukce, použitých materiálech a provozních podmínkách. Proto je nutné brát hodnoty z výpočtu jako orientační.

3. Planetový převod

Planetová soukolí jsou tvořena soustavou ozubených kol a unašečem. Takzvaná centrální ozubená kola jsou souosá s unašečem a centrální osou převodového mechanismu. Satelity jsou pak ozubená kola otočně uložená na unašeči a jsou v záběru s centrálními koly či mezi sebou. Satelity mohou mít jedno dvě či více ozubení. Dvou a vícestupňové satelity mají více konstrukčních variant s většími možnostmi, jsou však složitější a výrobně dražší.

Příklad jednoduchého planetového převodu s jednostupňovým ozubením satelitu je uveden níže. Tento základní typ planetového převodu je pak také komplexně řešen v tomto programu.

Jednoduchý planetový převod (diferenciál):

0 - Centrální kolo; 1 - Unašeč; 2 - Korunové kolo; 3 - Satelit.

Jestliže jsou u jednoduchého planetového převodu volné všechny tři základní členy (0, 1, 2), jedná se o diferenciál (2 stupně volnosti), který umožňuje skládat / rozkládat dva pohyby do jednoho. Toho se využívá například u obráběcích strojů (skládání) nebo u automobilového diferenciálu (rozkládání pohybu).

Jeli spojen s rámem jeden ze základních členů (0 nebo 2) vzniká planetový převod (1 stupeň volnosti) a to reduktor při pohonu směrem od centrálního kola nebo multiplikátor při pohonu směrem od unašeče. Pokud je s rámem spojen unašeč jedná se o normální převodovku neboli porovnávací převod.

Planetové převody je možné vzájemně řadit nejrůznějšími způsoby. Nejčastější způsob je řazení za sebou, kdy je celkový převodový poměr(účinnost) dán součinem dílčích převodových poměrů (účinností). U skládaných převodů je často používaná možnost brždění jednotlivých členů a tím řazení převodových stupňů.

Výhody:

• Úspora místa souosým uspořádáním hnacího a hnaného hřídele
• Nižší hmotnost proti normální převodovce
• Vysoká účinnost i při velkých přenášených výkonech
• Nízké radiální zatížení ložisek centrálních členů
• Kompaktní konstrukce

Nevýhody:

• Složitější konstrukce, vyšší požadavky na přesnost výroby a montáže
• Vyšší výrobní náklady
• Některé omezující podmínky (smontovatelnost)

Použití:

Vzhledem k uvedeným výhodám je použití planetových převodů čím dále tím častější v celé řadě oblastí (například převodovky motorových vozidel, stavební stroje, zdihací zařízení, lodní převodovky, reduktory turbín atp.) Časté je také spojení planetového převodu s hydraulickým či třecím převodem.

4. Ozubený hřeben

Geometrie.

Jedná se o standardní výpočet ozubení, kdy do ozubeného hřebene zabírá ozubený pastorek. Jak pro pastorek, tak pro ozubený hřeben je možné definovat profil výrobního nástroje.

Ve výpočtu je možné zvolit počet zubů pastorku, uhel záběru a úhel sklonu zubů. Jelikož nemá v tomto případě smysl korigovat ozubený hřeben, je možné volit pouze korekci pastorku (osová vzdálenost, zlepšení záběrových podmínek, zlepšení pevnostních parametrů).

Volba zatížení.

Ve výpočtu je možné zadat tečnou sílu, zož je vlastně síla, kterou působí ozubený hřeben na pastorek a rychlost pohybu ozubeného hřebene (obvodová ryclost pastorku). Z těchto dvou hodnot je pak dopočítán přenášený výkon a kroutící moment pastorku. Jelikož je možné ozubený hřeben použít pro řadu odlišných konstrukčních řešení, je pak třeba dopočítat (odhadnout) a převést požadavky převodu na tyto dvě hodnoty.

Pevnostní výpočet.

Jelikož neexistují žádné normy pro pevnostní výpočet pastorku v záběru s ozubeným hřebenem, je pro pevnostní výpočet použita norma ISO6336 (ANSI/AGMA 2001-D04). Ozubený hřeben je zde nahrazen ozubeným kolem s vysokým počtem zubů (1000 zubů).

Koeficient odlehčení kola - kritické otáčky

Pro stanovení kritických otáček při použití ozubeného hřebenu není žádná přesná metodika. Pro hrubý odhad je možné použít výpočet dvou ozubených kol (náhrada ozubeného hřebene kolem).

Pro lehký hřeben, který není spojen s konstrukcí použijte koeficient sR/h=1, pro hřeben spojený s s konstrukcí pak 20.

Počet cyklů.

Pro stanovení součinitele životnosti (YNT, ZNT) je nutné znát počet cyklů. Zadejte počet namáhacích cyklů pro pastorek a pro hřeben.

5. Výpočet únosnosti čelních kol s vnitřním nebo vnějším evolventním ozubením dle ISO 6336.

V následujících odstavcích bude popsán způsob výpočtu únosnosti. Pro výpočet je použita norma ISO 6336:2006 (ANSI/AGMA...). V popisu budou uvedeny použité klíčové vzorce spolu s poznámkami důležitými pro pochopení výpočtu a ovládání tohoto programu. Tento text v žádném případě nenahrazuje úplné znění použitých norem.

ISO 6336-1:2006 Část 1: Základní principy, doporučení a obecné ovlivfňující faktory

Tato část ISO 6336 uvádí základní principy, doporučené a obecné ovlivňující faktory pro výpočet únosnosti čelních kol s přímými a šikmými zuby.

Základní vztahy pro zatížení ozubení

Ft = 2000 * T_1,2 / d_1,2 = 19098 * 1000 * P / (d_1,2 * n_1,2) = 1000 * P / v
w_1,2 = 2000 * v / d_1,2 = n_1,2 / 9549

Ft ... (jmenovité) tečné čelní zatížení na referenčním válci během záběru.
T_1,2 ...  jmenovitý točivý moment pro pastorek (kolo)
d_1,2 ... referenční průrměr pastorku (kola)
P ... přendášný výkon
n_1,2 ... frekvence otáčeni pastorku (kola)
v ... obvodová rychlost (bez indexu, na referenční kružnici = obvodová rychlost na roztečné kružnici)
w_1,2 ... úhlová rychlost pro pastorek (kolo)

Aplikační faktor KA

Aplikační faktor (Součinitel vnějších dynamických sil) KA se používá k úpravě hodnoty Ft kde bere v úvahu přídavná zatížení ke jmenovitému, které jsou způsobeny z externích zdrojů. Empirické směrné hodnoty, které je možné použít jsou v tabulce B.1 ISO 6336-6 (pro průmyslové a vysokorychlostní převody).

Vnitřní dynamický faktor KV

Vnitřní dynamický faktor (Součinitel vnitřních dynamických sil) KV bere v úvahu příspěvek efektu stupně přesnosti zubu v zárvislosti na rychlosti a zatížení.

K dispozici jsou tři výpočtové metody (B₂₀₀₆), (C₂₀₀₆) a (C₁₉₉₆).

Metoda B se hodí pro všechny typy čelních ozubených kol. Je poměrně komplikovaná a  při nevhodné volbě materiálů vzhledem k zatížení jsou hodnoty KV mimo realitu. Metodu C je možné použít s určitými omezeními. Proto je ve výpočtu možné nastavit horní mez KV (přednastaveno 5.0). Při jejím překročení je vhodné zkontrolovat zvolený materiál vzhledem k zatížení ozubení.

Vnitřní dynamický faktor KV_(B)
N = n₁ / n_E1

Pro N < N_S (Podkritické pásmo)
N_S = 0.5 + 0.35 * ( F_t * K_A / b )^0.5 ...... [ F_t * K_A / b < 100 ]
N_S = 0.85 ...... [ F_t * K_A / b >= 100 ]
KV_(B) = ( N * K ) + 1
K = ( C_V1 * B_P ) + ( C_V2 * B_f ) + ( C_V3 * B_K )
B_P = c' * f_{pb eff} / ( F_t * K_A / b )
B_f  = c' * f_{ta eff} / ( F_t * K_A / b )
B_K = abs (1 + c' * C_a / ( F_t * K_A / b ))

Pro Ns < N < 1.15 (Hlavní resonanční pásmo)
KV_(B) = ( C_V1 * B_P ) + ( C_V2 * B_f ) + ( C_V4 * B_K ) + 1

Pro N >= 1.5 (Nadkritické pásmo)
KV_(B) = ( C_V5 * B_P ) + ( C_V6 * B_f ) + C_V7

Pro 1.15 < N < 1.5 (Mezilehlé pásmo)
KV_(B) = KV_(N=1.5) + ( KV_(N=1.15) - KV_(N=1.5)) / 0.35 * (1.5 - N)

Koeficienty

Vnitřní dynamický faktor KV_(C)
Metoda C dává průměrné hodnoty, které je rožno použít pro průmyslové převody a obdobné převodovky s podobnými požadavky v následujících oblastech použití:

• podkritické pásmo frekvence otáčení, tj. (v * z₁ / 100) * (u² / (1 + u²))^0.5 < 10 m/s
• vnitřní a vnější čelní soukolí s přímými zuby
• základní profil specifikovaný v ISO 53
• ozubení s přímými zuby a se zuby šikmými b <= 30
• pastorek s poměrně nízkým počtem zubů z₁ < 50
• plná kola nebo výrazně hmotné věnce kol

Metoda C může být rovněž obecně použita s omezeními v následujících oblastech:

• všechny typy čelních ozubených kol, pokud je (v * z₁ / 100) * (u² / (1 + u²))^0.5 < 3 m/s
• Pro lehké věnce kol a ozubení se zuby šikmým b > 30 je KV_(C) horší proti skutečnosti (Výpočet je tedy na straně bezpednosti).

Metoda (C₂₀₀₆) se od (C₁₉₉₆) liší přidáním koeficientu K3 a pro vstupní hodnoty KA*Ft/b=100; v=3m/s; Q=7; přímé zuby vypadají hodoty následovně:

KV_(C..1996)
KV_a,b = 1 + (K₁ / ( F_t * K_A / b ) + K₂) * v * z1 / 100 * (u² / (1 + u²))^0.5 ... [ e_b = 0; e_b >= 1.0]

KV_(C..2006)
KV_a,b = 1 + (K₁ / ( F_t * K_A / b ) + K₂) * v * z1 / 100 * K₃ * (u² / (1 + u²))^0.5 ... [ e_b = 0; e_b >= 1.0]

KV = KV_a - e_a* ( KV_a - KV_b ) ... [0 < e_b < 1.0]

Koeficienty

Kritické otáčky ozubeného soukolí N_E1

n_E1 = 30000 / ( p * z₁ ) * ( cga  / m_red )^0.5

kde:

m_red = m^*₁ * m^*₂ / ( m^*₁ + m^*₂ )
m^*_1,2 = J^*_1,2 / (r_{b 1,2})²   [kg/mm]
J^*_1,2 = J_1,2 / b_1,2
c_ga = c' * (0.75 * e_a + 0.25)
c' = c'_th * C_M * C_R * C_B * C_E * C_FK * cos(b)
c'_th = 1 / (0.04723 + 0.15551/z_n1 + 0.25791/z_n2 - 0.00635*x₁ - 0.11654*x₁/z_n1 - 0.00193*x₂ - 0.24188*x₂/z_n2 + 0.00529*x₁² + 0.00182*x₂²)
c'_th = 1 / (0.04723 + 0.15551/z_n1  - 0.00635*x₁ - 0.11654*x₁/z_n1 - 0.00193*x₂ + 0.00529*x₁² + 0.00182*x₂²) ... pro vnitřní ozubení
C_M = 0.8
C_R = 1 + ln(b_s / b) / (5 * e^{(sR/(5 * mn))}) ...... [0.2 < b_s < 1.2 ]
C_B = 0.5 * (C_B1 + C_B2); C_B1,2 = (1 + 0.5 * (1.2 - h_f1,2 / m_n)) * (1 - 0.02*(20 - a_Pn))
C_E = (( 2 * E₁ * E₂ ) / ( E₁ + E₂ )) / 206
C_FK = (( F_t * K_A / b ) / 100 )^0.25...... [ C_FK<= 1.0 ]

z_n1,2 = z_1,2 / cos(b)³

Kritické otáčky pro ozubení s vloženým kolem, ozubení vnitřní a planetové se stanovují odlišným způsobem. Podrobnosti v ISO6336-1.

Koeficient KHb (KFb)

Tento koeficient vyjadřuje vliv nerovnoměrnosti rozložení zatížení po šířce zubu. Tato nerovnoměrnost je způsobena elastickou deformací ozubených kol, uložení, výrobními úchylkami a tepelnými deformacemi. Metody, principy a předpoklady jsou uvedeny v normě ISO6336-1. Jelikož určení tohoto koeficientu je závislé na řadě faktorů a především na konkrétních rozměrech a konstrukci převodu, je pro účely návrhu volen koeficient KHb z grafů založených na praktických zkušenostech. Výpočet je uveden v odstavci [18].

Stanovení KHb (metoda C)

Podrobný popis je v ISO6336-1. Zde je pouze výběr vzorců, informací a poznámek, které přímo souvisí se zde uvedeným výpočtem KHb.

a) KHb = (2 * Fby * cgb / (Fm / b))^0.5 ...... [ Fby * cgb / (2 * Fm / b) >= 1.0; KHb >= 2.0 ]
b) KHb = 1 + Fby * cgb / (2 * Fm / b) ...... [ Fby * cgb / (2 * Fm / b)  < 1.0; KHb > 1.0 ]

kde:

Fm = Ft * KA * KV
Fby =  Fbx *  yb
cgb = 0.85 * c_ga
b ...... šířka kola
yb ... přídavek na záběh z grafu

kde:

1) Fbx = Volba vlastní hodnoty
2) Fbx = 1.33 * B1 * fsh + B2 * fma ....... [ Fbx >=  Fbxmin ]
3) Fbx = abs( 1.33 * B1 * fsh - f_Hb6) ...... [ Fbx >=  Fbxmin ]
4) Fbx = 1.33 * B1 * fsh + fsh2 + fma + fca +fbe

kde:

B1, B2 koeficienty, tabulka 8, ISO6336-1
f_Hb6 ... Úchylka sklonu zubu pro Q=6, ISO1328-1
fsh ... Složka ekvivalentni nesouososti. Je možné stanovit několika způsoby (výpočet, měření, odhad). Zde použit vzorec:
fsh = Fm / b * 0.023 * (abs(B' + K' * l * s / d₁² * (d₁ / dsh)⁴ - 0.3) + 0.3) * (b / d1)² ... [s / l < 0.3]
fsh = Fm / b * 0.046 * (abs(B' + K' * l * s / d₁² * (d₁ / dsh)⁴ - 0.3) + 0.3) * (b_B / d1)² ... [s / l < 0.3]
fsh2, fca, fbe ... je možné stanovit dle ISO6336-1
B' = 1.0 ... pro obě čelní kola s přímými a šikmými zuby, pro celkový přenášený výkon.
K' = koeficient rozložení, šedá označuje méně deformované ozubení v případě kola s dvojitě šikmými zuby.

l, s .... viz. obrázek (picture)
dsh ... průměr hřídele (shaft diameter)
fma ... nesouosost záběru. Je možné stanovit několika způsoby (výpočet, měření, odhad). zde použit vzorec:
fma = (f_Hb1² + f_Hb2²)^0.5 .

Stanovení KHb (Zjednodušený vzorec)

a) KHb = Acoef * (2 * Fby * cgb / (Fm / b))^0.5 ...... [ Fby * cgb / (2 * Fm / b) >= 1.0; KHb > 1.0 ]
b) KHb = Acoef * (1 + Fby * cgb / (2 * Fm / b)) ...... [ Fby * cgb / (2 * Fm / b)  < 1.0; KHb > 1.0 ]

kde:

Fm = Ft * KA * KV
Fby =  Fb * 0.8 ..... [Fb from ISO 1328]
cgb = 0.85 * c_ga
b ...... šířka kola

Acoef = 1.0 ..... Oboustraně symetricky uložené soukolí
Acoef = (0.9 + 0.15 * (b1 / d1)² + 0.23 * (b1 / d1)³) ..... Oboustraně nesymetricky uložené soukolí
Acoef = (0.9 + (b1 / d1)²) ..... Letmo uložené soukolí

Stanovení KHb (Aproximace tabulkových hodnot)

Pro účely předběžného návrhu je možné použít hodnot z následujících grafů.
Osa X: Poměr šířky kola k průměru kola .....
Osa Y: Součinitel KHb ..... [min. hodnota = 1.05]
Stupeň přesnosti 7

Netvrzená kola, VHV<370, konstrukce typu A-F ... výpočet odstavec [2.0]

Tvrzená kola, VHV>=370, konstrukce typu A-F ... výpočet odstavec [2.0]

Koeficient KFb

KFb = ( KHb )^NF
NF = (b / h)² / (1 + b / h + (b / h)²) ...... [když b / h < 3; pak b / h = 3] ([if b / h < 3; then b / h = 3])
Menší z hodnot b₁/h₁, b₂/h₂ se používá jako b/h.

Koeficient KHa (KFa)

KHa = KFa = e_g / 2 * (0.9 + 0.4 * (cga * (f_pb - y_a)) / (F_tH / b)) ...... [e_g <= 2.0]
KHa = KFa = 0.9 + 0.4 * (2.0 * (e_g - 1.0) / e_g)^0.5 * cga * (f_pb - y_a)  / (F_tH / b) ...... [e_g > 2.0]

Pro: (For:)
KHa > e_g / ( e_a * Z_e²) ...... KHa = e_g / ( e_a * Z_e²)
KHa < 1.0 ...... KHa = 1.0

Pro: (For:)
KFa > e_g / (0.25 * e_a + 0.75) ...... KFa = e_g / (0.25 * e_a + 0.75)
KFa < 1.0 ...... KFa = 1.0

f_pb = f_pt (ISO1328-1)

y_a ... Material: St, St(cast), V, V(cast), GGG(perl.), GGG(bai.), GTS(perl.)
y_a = f_pb * 160 / σHlim [ v < 5m/s ]
y_a <= 12800 / σHlim [ 5m/s < v <= 10m/s ]
y_a <= 6400 / σHlim [ v > 10m/s ]

y_a ... Material: GG, GGG(ferr.)
y_a = f_pb 0.275 [ v < 5m/s ]
y_a <= 22 [ 5m/s < v <= 10m/s ]
y_a <= 11 [ v > 10m/s ]

y_a ... Material: Eh, IF, NT(nitr.), NV(nitr.), NV(nitrocar.)
y_a = f_pb 0.075 [ y_a <= 3 ]
 

ISO 6336-2:2006 Část 2: Výpočet trvanlivosti povrchu (pitting)

Tato část ISO 6336 uvádí základní vzorce pro stanovení únosnosti povrchu čelnich kol s vnějším nebo vnitřním evolventním ozubenim. Obsahuje vzorce pro všechny vlivy na trvanlivost povrchu, kterou lze kvantitativně vyhodnotit. Platí v první řadě pro převodovky mazané olejem, ale lze je též použít pro získání přibližných hodnot pro (pomaluběžné) převodovky mazané tukem, dokud je záběr zubů trvale dostatečně mazán.

Faktor bezpečnosti pro trvanlivost povrchu (proti pittingu), S_H

S_H se stanovuje zvlášť pro pastorek i kolo:

S_H1,2 =  σ_HG1,2 /  σ_H1,2 > S_Hmin

Napětí v dotyku, σ_H 

σ_H1 = Z_B * σ_H0 * (KA * KV * KHb * KHa)^0.5
σ_H2 = Z_D * σ_H0 * (KA * KV * KHb * KHa)^0.5

Jmenovité napětí v dotyku v roztečném bodě σ_H0
σ_H0 = Z_H * Z_E * Z_e * Z_b * (F_t / (b * d₁) * (u + 1) / u)^0.5

Přípustné napětí v dotyku σ_HP: Metoda B

σ_HP = Z_L * Z_V * Z_R * Z_W * Z_X * Z_NT * σ_Hlim / S_Hmin = σ_HG / S_Hmin

Mezní napětí při pittingu σ_HG
σ_HG = σ_HP * S_Hmin

Faktor zóny Z_H

Z_H = (2 * cos(b_b) * cos(a_wt) / (cos(a_t)² * sin(a_wt)))^0.5

Faktory dotyku jedné dvojice boků zubů Z_B a Z_D

M₁ = tan(a_wt) / ((((d_a1 / d_b1)² - 1.0)^0.5 - 2 * p / z₁) * (((d_a2 / d_b2)² - 1.0)^0.5 - (e_a - 1.0) * 2 *  p / z₂))^0.5
M₂ = tan(a_wt) / ((((d_a2 / d_b2)² - 1.0)^0.5 - 2 * p / z₂) * (((d_a1 / d_b1)² - 1.0)^0.5 - (e_a - 1.0) * 2 *  p / z₁))^0.5

Čelní soukolí s přímými zuby, e_a > 1.0
Z_B = 1.0 ... [ M₁<= 1.0 ]
Z_B = M₁ .... [ M₁ > 1.0 ]
Z_D = 1.0 ... [ M₂<= 1.0 ]
Z_D = M₂ .... [ M₂ > 1.0 ]

Čelní soukolí se šikmými zuby, e_b >= 1.0
Z_B = Z_D = 1.0

Čelní soukolí se šikmými zuby, e_b < 1.0
Z_B = M₁ - e_b * (M₁ - 1.0) ... [ Z_B >= 0 ]
Z_D = M₂ - e_b * (M₂ - 1.0) ... [ Z_D >= 0 ]

(Pro vnitřní ozubení musi byl Z_D vždy rovno 1.0)

Faktor elasticity Z_E

Z_E = (p * ((1.0 - n₁²) / E₁ + (1 - n₂²) / E₂))^-0.5

kde

n_1,2 ... Poissonovo číslo
E_1,2 ... modul pružnosti

Faktor poměrného dotyku Z_e

Z_e = ((4.0 - e_a) / 3 * (1.0 - e_b) + e_b / e_a)^0.5  ... [ 0 <= e_b < 1.0 ]
Z_e = (1.0 / e_a)^0.5  ... [ e_b >= 1.0 ]

Faktor úhlu sklonu, Z_b

Z_b = 1 / (cos(b))^0.5

Faktor životnosti, Z_NT

osa X ... počet cyklů
osa Y ... Z_NT

Faktor maziva, Z_L

Z_L = C_ZL + 4 * (1.0 - C_ZL) / (1.2 + 80 / n₅₀)² = C_ZL + 4 * (1.0 - C_ZL) / (1.2 + 134 / n₄₀)²
C_ZL = 0.83 ... [ σ_Hlim < 850 ]
C_ZL = σ_Hlim / 4375 + 0.6357 ... [ 850 <= σ_Hlim <= 1200 ]
C_ZL = 0.91 ... [ 1200 < σ_Hlim ]
n₅₀ ( n₄₀) ... jmenovitá viskozita při 50°C (40°C) [mm²/s]

Graf viskozity na teplotě pro "viscosity index" VI = 50

Faktor rychlosti Z_V

Z_V = C_ZV + 2 * (1.0 - C_ZV) / (0.8 + 32 / v)^0.5
C_ZV = C_ZL + 0.02

Faktor drsnosti, Z_R

ZR = (3 / Rz₁₀)^CZR
C_ZR = 0.15 ... [ σ_Hlim < 850 ]
C_ZR = 0.32 - 0.0002 * σ_Hlim ... [ 850 <= σ_Hlim <= 1200 ]
C_ZR = 0.08 ... [ 1200 < σ_Hlim ]
Rz₁₀ = Rz * (10 / r_red)^(1/3)
r_red = (r₁ * r₂) / (r₁ + r₂)
r_1,2 = 0.5 * d_b1,2 * tan(a_wt)

Faktor provozni tvrdosti, Z_W

Faktor provozni tvrdosti Z_W bere v úvahu nárůst trvanlivosti povrchu jako důsledek ocelového kola v záběru (konstrukční ocel, ocel k zušlechtění) s tvrdým nebo podstatně tvrdším pastorkem s hladkými boky zubu.

Povrchově kalený pastorek, kalené kolo
Z_W = 1.2 * (3 / Rz_H)^0.15 ... [ HB < 130 ]
Z_W = (1.2 - (HB - 130) / 1700) * (3 / Rz_H)^0.15 ... [ 130 <= HB <= 470 ]
Z_W = (3 / Rz_H)^0.15 ... [ HB > 470 ]

Z_W pro statické napětí
Z_W = 1.05 ... [ HB < 130 ]
Z_W = 1.05 - (HB - 130) / 680 ... [ 130 <= HB <= 470 ]
Z_W = 1.0 ... [ HB > 470 ]
Rz_H = Rz₁ * (10 / r_red)^0.33 * (Rz₁ / Rz₂)^0.66) / ( n₄₀ * v / 1500)^0.33) ... [ 3 <= Rz_H <=16 ]

Kalený pastorek a kolo
Z_W = 1.0 ... [ HB₁/HB₂ < 1.2 ]
Z_W = 1.0 + A * (u - 1.0) ... [ 1.2 <= HB₁/HB₂ <= 1.7 ]
Z_W = 1.0 + 0.00698 * (u - 1.0) ... [ 1.7 < HB₁/HB₂ ]
A = 0.00898 * HB₁/HB₂  - 0.00829

Z_W pro statické napětí
Z_W = 1.0

ISO 6336-3:2006 Část 3: Výpočet pevnosti v ohybu zubu

Tato část ISO 6336 specifikuje základní vztahy používané pro výpočet napětí v ohybu zubů evolventních čelních ozubených kol s vnitřním nebo vnějším ozubením s přímými a šikmými zuby s tloušťkou věnce s_R > 0.5 * h_t pro vnější ozubení a s_R >1.75 * m_n pro vnitřní ozubeni.

Faktor bezpečnosti pro pevnost v ohybu (bezpečnost proti ulomení zubu), S_F

S_F se stanovuje zvlášť pro pastorek i kolo:

S_F1,2 =  σ_FG1,2 /  σ_F1,2 >= S_Fmin

Napětí v patě zubu σ_F 

σ_F = σ_F0 * KA * KV * KFb * KFa

Jmenovité napětí v patě zubu σ_F0
σ_F0 = F_t / (b * m_n) * Y_F * Y_S * Y_b * Y_B * Y_DT

Přípustné ohybové napětí σ_FP : Metoda B

σ_FP = σ_Flim * Y_ST * Y_NT * Y_drelT * Y_RrelT * Y_X / S_Fmin = σ_FG / S_Fmin

Mezní napětí v patě zubu σ_FG
σ_FG = σ_FP * S_Fmin

Faktoru tvaru zubu, Y_F : Metoda B

Y_F = (6 * h_Fe / m_n * cos(a_Fen)) / ((s_Fn / m_n)² * cos(a_n))

Sečna paty zubu s_Fn ; poloměr patního přechodu r_F ; rameno ohybového momentu h_Fe 

Rozměry základního profilu zubu (konečný stav)
A...bez podříznutí
B...s podříznutím

pomocné hodnoty
E = p / 4 * m_n - h_fP * tan(a_n) + s_pr / cos(a_n) - (1 - sin(a_n) * r_fP / cos(a_n)
s_pr = pr - q
s_pr = 0 pokud není ozubení podříznuto
r_fPv = r_fP ... vnější ozubení
r_fPv = r_fP + mn * (x0 + h_fp/m_n - r_fP/m_n)^1.95 / (3.156 * 1.036^z0) ... vnitřní ozubení
x0 ... posunutí nástroje
z0 ... počet zubů nástroje
G = r_fPv / m_n - h_fP / m_n + x
H = 2 / z_n * (p / 2 - E / m_n) - T
T = p / 3 ... vnější ozubení
T = p / 6 ... vnitřní ozubení
q = 2 * G / zn * tan(q) - H

Stanovení kritického průřezu paty zubu na normále k ose zubu podle metody B
A...čelni kola s vnějším ozubením
B...čelni kola s vnitřním ozubením

Patní sečna s_Fn
s_Fn / m_n = z_n * sin(p/3 - q) + (3)^0.5 * (G / cos(q) - r_fPv / m_n) ... vnější ozubení
s_Fn / m_n = z_n * sin(p/6 - q) + (G / cos(q) - r_fPv / m_n) ... vnitřní ozubení

Poloměr patního přechodu r_F 
r_F  / m_n = r_fPv / m_n + 2 * G² / (cos(q) * (z_n * cos(q)² - 2 * G))

Rameno ohybového momentu h_Fe
h_Fe / m_n = 0.5 * ((cos(g_e) - sin(g_e) * tan(a_Fen)) * d_en / m_n - z_n * cos(p/3 - q) - G / cos(q) + r_fPv / m_n)) ... vnější ozubení

h_Fe / m_n = 0.5 * ((cos(g_e) - sin(g_e) * tan(a_Fen)) * d_en / m_n - z_n * cos(p/6 - q) - (3)^0.5 * (G / cos(q) - r_fPv / m_n))) ... vnitřní ozubení

Parametry virtuálních ozubených kol

b_b = arcsin(sin(b) * cos(a_n))
z_n = z / (cos(b_b))³
e_an= e_a / (cos(b_b))²
d_n = m_n * z_n
p_bn = p * m_n * cos(a_n)
d_bn = d_n * cos(a_n)
d_an = d_n + d_a - d
d_en = 2 * z / abs(z) * ((((d_an / 2)² - (d_bn / 2)²)^0.5 - p * d * cos(b) * cos(a_n) * (e_an - 1) / abs(z))² + (d_bn / 2)²)^0.5

*Počet zubů z je kladný pro čelní kola s vnějším ozubením a záporný pro čelní kola s vnitřním ozubením

a_en = arccos(d_bn / d_en)
g_e = (0.5 * p + tan(a_n) * x) / z_n + inv(a_n) - inv(a_en)
a_Fen = a_en - g_e

Faktor koncentrace napětí Y_S

Faktor koncentrace napeti Y_S je použit k přepočtu jmenovitého napětí v ohybu na mistní napětí v patě zubu.
Y_S = (1.2 + 0.13 * L) * q_s^{(1 / (1.21 + 2.3 / L))}
L = S_Fn / h_Fe
q_s = S_Fn / (2 * r_F)

Faktor koncentrace napětí pro ozubené kola s vruby v patě zubu Y_Sg

Y_Sg = 1.3 * Y_S / (1.3 - 0.6 * (t_g / r_g)^0.5) ... [ (t_g / r_g)^0.5 < 2.0 ]

Faktor úhlu sklonu Y_b

Y_b = 1 - e_b * b / 120 ... [if b > 30; b = 30]

Faktor tloušťky věnce Y_B

vnější ozubení
Y_B = 1.0 ... [s_R / h_t >= 1.2]
Y_B = 1.15 * ln(8.324 * m_n / s_R) ... [0.5 < s_R / h_t < 1.2]

vnitřní ozubení
Y_B = 1.0 ... [s_R / m_n >= 3.5]
Y_B = 1.6 * ln(2.242 * h_t / s_R) ... [1.75 < s_R / m_n < 3.5]

Faktor výšky zubu Y_DT

Y_DT = 1.0 ... [e_an <= 2.05] or [stupeň přesnosti > 4]
Y_DT = -0.666 * e_an + 2.366 ... [2.05 < e_an <= 2.5] and [stupeň přesnosti <= 4]
Y_DT = 0.7 ... [e_an > 2.5] and [stupeň přesnosti <= 4]

Faktor životnosti, Y_NT

osa X ... počet cyklů
osa Y ... Y_NT

Relativní faktor vrubové citlivosti Y_drelT pro referendni napětí

Y_drelT = Y_d / Y_dT = (1 + (r^' * c^*)^0.5) / (1 + (r^' * c_T^*)^0.5)
c^* = c_P^* * (1 + 2 * q_s)
c_P^* = 1 / 5 = 0.2
c_T^* = c_P^* * (1 + 2 * 2.5)

Material: GG [σ_B=150MPa], GG, GGG(ferr.)[σ_B=300MPa]
r^' = 0.31

Material: NT, NV
r^' = 0.1005

Material: St, V, GTS, GGG(perl.), GGG(bai.)
r^' = MAX(MIN(13100 / Rp_0.2^(2.1) - (MAX(600;Rp_0.2)-600)^(0.35) / 1600;0.32);0.0014)

Material: Eh, IF(root)
r^' = 0.003

Relativní faktor vrubové citlivosti Y_drelT pro statické namáhání

Material: St, V, GGG(perl.), GGG(bai.)
Y_drelT = (1 + 0.82 * (Y_S - 1) * (300 / σ_0.2)^(1/4)) / (1 + 0.82 * (300 / σ_0.2)^(1/4))

Material: Eh, IF, IF(root)
Y_drelT = 0.44 * Y_S + 0.12

Material: NT, NV
Y_drelT = 0.20 * Y_S + 0.60

Material: GTS
Y_drelT = 0.075 * Y_S + 0.85

Material: GG, GGG(ferr.)
Y_drelT = 1.0

Relativní faktor povrchu Y_RrelT pro referendni napětí

Rz < 1 mm

Material: V, GGG(perl.), GGG(bai.), Eh, IF
Y_RrelT = 1.12

Material: St
Y_RrelT = 1.07

Material: GG, GGG(ferr.), NT, NV
Y_RrelT = 1.025

1mm < Rz < 40 mm

Material: V, GGG(perl.), GGG(bai.), Eh, IF
Y_RrelT = 1.674 - 0.529 * (Rz + 1)^0.1

Material: St
Y_RrelT = 5.306 - 4.203 * (Rz + 1)^0.01

Material: GG, GGG(ferr.), NT, NV
Y_RrelT = 4.299 - 3.256 * (Rz + 1)^0.0058

Relativní faktor povrchu Y_RrelT pro statické napětí

Y_RrelT = 1.0

Faktor rozměru Y_X

Y_X = 1.0 ... Pro statické napětí všech materiálů

Y_X ... Material: St, St(cast), V, V(cast), GGG(perl.), GGG(bai.), GTS(perl.)
Y_X = 1.0 ... [ m_n <= 5 ]
Y_X = 1.03 - 0.006 * m_n ... [ 5 < m_n < 30 ]
Y_X = 0.85 ... [ m_n >= 30 ]

Y_X ... Material: Eh, IF(root), NT, NV, NT(nitr.), NV(nitr.), NV(nitrocar.)
Y_X = 1.0 ... [ m_n <= 5 ]
Y_X = 1.05 - 0.01 * m_n ... [ 5 < m_n < 25 ]
Y_X = 0.80 ... [ m_n >= 25 ]

Y_X ... Material: GG, GGG(ferr.)
Y_X = 1.0 ... [ m_n <= 5 ]
Y_X = 1.075 - 0.015 * m_n ... [ 5 < m_n < 25 ]
Y_X = 0.70 ... [ m_n >= 25 ]

ISO 6336-5 Údaje o pevnosti a kvalitě materiálů, návrh vlastností.

Tato část ISO 6336 popisuje napětí v dotyku a napětí v ohybu v patě zubu a uvádí pro ně číselné mezní hodnoty. Jsou specifikovány požadavky na kvalitu a tepelné zpracování materiálu, spolu s uvážením jejich vlivu na obě mezní hodnoty.

Dovolené hodnoty napětí v dotyku, σHlim a jmenovité napětí v ohybu σFlim je vypočítáno ze vztahu:

a) σHlim = A * x + B
b) σFlim = A * x + B

kde
x ... je tvrdost povrchu HBW nebo HV
A, B jsou konstanty

Požadavky na kvalitu materiálu a tepelné zpracování

Použité vztahy jsou určeny pro tři stupně kvality materiálu ML, MQ a ME
- ML představuje nejmírnější požadavky na kvalitu materiálu a na proces jeho tepelného zpracování během výroby ozubeného kola.
- MQ představuje požadavky, které může splnit zkušený výrobce při rozumných výrobních nákladech.
- ME představuje požadavky, které musí být splněny při požadavku vysoké provozní spolehlivosti.

V tomto výpočtu jsou kromě σHlim a σFlim navržené další materiálové parametry, které jsou pro výpočet ozubení nutné. Hodnoty Ro, E a poisonova konstanta jsou běžně dostupné. Pro návrh meze pevnosti v tahu Rm a meze kluzu Rp0.2 byly použity údaje z ISO 1265 a z odborné literatury. Parametry křivek pro časovou pevnost byly získané z ISO6336-2 a 3. Tyto křivky je možné vidět na malém grafu ve výpočtu.

Všechny počítané hodnoty jsou návrhové a získané na základě empirických zkušeností. Přesné hodnoty pro konkrétní materiál získáte nejlépe od výrobce, či na základě materiálových zkoušek.

Poznámky k tvrdosti.

Hodnoty HB pro HB<=450 ocelová kulička, HB>450 kulička z tvrdokovu
Hodnoty HB použitý přepočet HB=HV-HV/20
Hodnoty HRC použitý přepočet HRC=(100*HV-14500)/(HV+223)

6. Výpočet únosnosti čelních kol s vnitřním nebo vnějším evolventním ozubením dle ANSI/AGMA 2001-D04.

Výtah je uváděn v originálním jazyce normy.

Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth ANSI/AGMA 2001-D04

dynamic factor, Kv

Kv =  (C / (C + v_t))^−B
C = 50 + 56 * (1.0 − B) ... [ 6 ≤ Av ≤ 12 ]
B = 0.25 * (Av − 5.0)^0.667

v_{t max} = [C + (14 − Av)]²

Overload factor, Ko

The empirical guidance values from table B.1 ISO 6336-6 are used.

Elastic coefficient, Cp

Cp = (1 / p * (((1 - m_P²) / E_P) + ((1 - m_G²) / E_G)))^0.5  ... [lb/in²]^0.5
m_P and m_G is Poisson’s ratio for pinion and gear, respectively; E_P and EG is modulus of elasticity for pinion and gear [lb/in²].

Surface condition factor, Cf

Cf = 1.0

Hardness ratio factor, C_H

Through hardened gears
C_H = 1.0 + A * (m_G - 1.0)
A = 0.00898 *(HBP / HBG) - 0.00829
HBP is pinion Brinell hardness number [HB]; HBG is gear Brinell hardness number,[HB].
This equation is valid for the range 1.2 ≤ HBP / HBG ≤ 1.7 For HBP / HBG < 1.2, A = 0.0 HBP / HBG > 1.7, A = 0.00698

Surface hardened/through hardened values
CH = 1.0 + B * (450 - HBG)
B = 0.00075 * (2.71828)^{-0.0112 * (fp)}
fp is surface finish of pinion, microinches, Ra
if fp>64 ... CH = 1.0

Load distribution factor, Km

Km = f (Cmf, Cmt)
Km = Cmf

Face load distribution factor, Cmf

Cmf = 1.0 + Cmc * (Cpf * Cpm + Cma * Ce)
Cmc is 1.0 for gear with unmodified leads; Cmc is 0.8 for gear with leads properly modified by crowning or lead correction.
Cpf = F / (10 * d) − 0.025 ... [F<=1.0]
Cpf = F / (10 * d) − 0.0375 + 0.0125 * F ... [1.0<F<=17.0]
Cpf = F / (10 * d) − 0.1109 + 0.0207 * F − 0.000228 * F² ... [17.0<F<=40.0]
Cpm = 1.0 ... [S1 / S < 0.175]
Cpm = 1.1 ... [S1 / S >= 0.175]
Cma = A + B * F + C * F²

Ce = 0.8 ... [gearing is adjusted at assembly; gearing is improved by lapping]
Ce = 1.0 ... [for all other conditions]

Reliability factor, KR

KR = 1.50 [Fewer than one failure in 10 000]
KR = 1.25 [Fewer than one failure in 1000]
KR = 1.00 [Fewer than one failure in 100]
KR = 0.85 [Fewer than one failure in 10]
KR = 0.70 [Fewer than one failure in 2]

Rim thickness factor, KB

KB = 1.6 * ln(2.242 / m_B) ... [for m_B<1.2]
KB = 1.0 ... [for m_B>=1.2]

m_B = t_R / h_t
t_R is gear rimthickness below the tooth root [in]; h_t is gear tooth whole depth [in]

Pitting resistance

The contact stress number formula for gear teeth is:

sc = Cp (Wt * Ko * Kv * Ks * Km * Cf / (d * F * I))^0.5

Allowable contact stress number
The relation of calculated contact stress number to allowable contact stress number is:

sc ≤ (sac * Z_N * C_H) / (K_T * SH * K_R)

Pitting resistance power rating
The pitting resistance power rating is:

Pac = (p * np * F / 396 000) * I / (Ko * Kv * Ks * Km * Cf) * ((d * sac * Z_N C_H) / (Cp * SH * K_T * K_R))²

Safety coefficient for surface durability

SH = sac / sc * (Z_N * C_H) / (K_T * K_R)

Bending strength

The fundamental formula for bending stress number in a gear tooth is:

st = Wt * Ko * Kv * Ks * (Pd * Km * K_B / (F * J))

Allowable bending stress number
The relation of calculated bending stress number to allowable bending stress number is:

st ≤ (sat * Y_N) / (SF * K_T * K_R)

Bending strength power rating
The bending strength power rating is:

Pat = (p * np * F / 396 000) * (F * J) / (Ko * Kv * P_d * Ks * Km * K_B) * (sat * Y_N) / (SF * K_T * K_R)

Safety coefficient for bending strength

SF = sat / st * Y_N / (K_T * K_R)

Transmitted tangential load
Wt = 33000 * P / v_t = 2 * T / d = 396000 * P / (p * np * d)

P is transmitted power [hp]; T is transmitted pinion torque [lb*in]; v_t is pitch line velocity at operating pitch diameter, [ft/min]
v_t = p * np * d / 12

Allowable stress numbers, sac and sat ANSI / AGMA 2001-D04

This part of ANSI / AGMA 2001-D04 describes the allowable stress numbers sac and sat, for pitting resistance and bending strength.

Allowable stress numbers in this standard are determined or estimated from laboratory tests and accumulated field experiences. They
are based on unity overload factor, 10 million stress cycles, unidirectional loading and 99 percent reliability. For service life other than 10
million cycles, the allowable stress numbers are adjusted by the use of stress cycle factors YN and ZN

The allowable stress numbers sac and sat can be calculated by the following equation:

a) sac = A * x + B
b) sat = A * x + B

where x is the surface hardness HBW and A, B are constants

Requirements for material quality and heat treatment.

These requirements are specified in this standard and are divided in three material quality grades 1,2 an 3.

In this calculation, except sac and sat, are proposed other material parameters that are necessary for calculating the gearing. The values of p, E and Poisson constant are commonly available. For the proposal of the tensile strength Rm and yield strength Rp0.2 was used information from the ISO 1265 and specialized literature. All calculated values are design and based on empirical experience. The exact values for a concrete material you can obtain from your manufacturer or from material tests.

Hardness notice

Values HB for HB<=450 steel ball, HB>450 carbide ball
Values HB used recalculation HB=HV-HV/20
Values HRC used recalculation  HRC=(100*HV-14500)/(HV+223)