Flèche et tension des plaquesFlèche et tension des plaquesCe calcul traite de la flèche, de la tension et de l'évolution des forces dans des plaques planes contraintes. Le calcul est destiné à des plaques homogènes, de même épaisseur et d'un seul matériau. Les plaques peuvent être circulaires, circulaires avec un orifice ou rectangulaires. Elles peuvent être contraintes uniformément (non uniformément) sur toute la surface (sur une partie de la surface) ou elles peuvent être contraintes avec une force exerçant de façon continue sur la circonférence. Le logiciel permet :
Le calcul utilise les données, les méthodes, les algorithmes et les informations de la littérature spécialisée (Roark formulas, Machinery's Handbook 26th, Teorie desek a skořepin [doc. Ing. Ladislav Šubrt, CSc.] et autres)
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L'information sur le but, l'utilisation et la commande du paragraphe " information sur le projet " peut être trouvée dans le document " information sur le projet ".
La plaque est un élément de construction de type plan (deux dimensions sont
plus grandes que la troisième - épaisseur), essentiellement contrainte en
flexion. La classification des plaques selon leur forme prend en compte les
formes circulaires, rectangulaires et générales.
Pour évaluer la contrainte, on peut se baser sur des plaques circulaires
rotativement symétriques dont on retire un élément. Les tensions correspondantes
pouvant apparaître sont ensuite affichées.
Prenons l'hypothèse d'une évolution linéaire des tensions normales sr,
st avec un axe neutre qui n'est pas au
milieu de l'épaisseur de la plaque.
Sur base de cette hypothèse, nous pouvons répartir les tensions normales (tant
radiales que tangentielles) en deux types :
- Tension de flexion (évolution comme pour un mouvement simple) -
sr',
st'
- Tension membranaire (la tension est constante sur toute l'épaisseur de la
plaque) - sr'',
st''
Puis la tension normale sr
= sr' +
sr'' ou
st =
st' +
st''
et la contrainte de l'élément A peut ensuite être illustrée comme suit :
De façon semblable, la tension peut être dessinée sur d'autres cas plus compliqués, par exemple des plaques asymétriquement rotatives, des plaques rectangulaires etc… De tels cas ne se différencieraient de ce cas là que par la présence d'autres composantes de tension de cisaillement t. Les différentes composantes de la tension entraînent la création de types de déformations qui leur correspondent.
Sur la base de ces connaissances, il est possible de diviser les plaques en
différents groupes selon la contrainte et ce :
tout en sachant que l' « épaisseur de la plaque » est ici considérée en relation avec la contrainte, avec la tension principale et donc avec la méthode d'analyse.
Les flèches des plaques épaisses sont très petites et on peut donc négliger l'allongement des lignes après déformation. L'allongement des lignes étant causé par la tension membranaire, nous pouvons négliger la tension membranaire. Du fait de la grande épaisseur des plaques, les tensions de flexion sont petites et elles sont donc comparables à des tensions de cisaillement. Lors de l'étude, les deux types de contraintes sont donc considérés. Le cisaillement ayant pour conséquence la courbure des sections perpendiculaires par rapport au plan central de la plaque, l'analyse théorique est plus compliquée. Ce type de plaque n'est pas fréquemment utilisé dans les constructions habituelles de machines.
Ces plaques ont déjà une épaisseur moins importante, ce qui entraîne que les tensions de flexion sont plus grandes et qu'elles prévalent donc sur la tension de cisaillement. La tension de cisaillement et ses conséquences (c'est-à-dire la courbure des normales droites d'origine par rapport au plan central de la plaque) peuvent donc être ignorées. D'un autre côté, la flèche n'est pas encore suffisamment grande pour entraîner un allongement significatif des lignes du plan central (plan séparant la plaque au centre de son épaisseur). La tension membranaire peut donc être négligée. Pour ce type de plaque, seule la contrainte de flexion avec répartition linéaire des tensions de flexion dans l'épaisseur de la plaque et avec tension de flexion nulle dans le plan central de la plaque peut être considérée. Il s'agit du type de plaque le plus facile pour les calculs. Dans la pratique, la plupart des plaques se calculent selon les méthodes de calcul établies pour des plaques d'épaisseur moyenne, même si cela n'est pas toujours justifié.
Pour ce type de plaque, l'influence du cisaillement est encore plus petite que pour les plaques « d'épaisseur moyenne »; nous pouvons donc négliger le cisaillement et ses conséquences. La flexion doit être considérée et, en plus, l'influence des tensions membranaires ne peut plus être négligée pour les plaques fines. Cela est dû au fait qu'il y a de plus grandes flèches qui entraînent donc l'allongement des lignes du plan central. Ces changements de longueur sont fonction des tensions membranaires. Cependant, la tension membranaire apparaît également dans le cas d'un montage mobile. Les bordures pourraient donc ainsi se rapprocher les unes des autres mais, lors de la déformation, la plaque plane d'origine se transforme en une surface de forme circulaire qu'il est impossible de développer, ce qui entraîne des changements de longueur de chacune des lignes de la surface centrale. Pour ces plaques fines, nous considérons donc les tensions de flexion et les tensions membranaires, même en cas de montage mobile. Ce type de plaques est de plus non linéaire, c'est-à-dire que la déformation et la tension ne sont pas directement proportionnelles aux contraintes, et ce même lorsque la loi linéaire (loi de Hook) est valable. Il s'agit d'une non linéarité géométrique qui apparaît en conséquence de grandes déformations - concrètement en conséquence de grands angles d'inclinaison.
Les membranes sont des plaques si fines que leur rigidité à la flexion (et
donc leur tension de flexion) est négligeable et seule la contrainte à la
traction est considérée (différentes membranes manométriques en caoutchouc par
exemple). En raison de grandes déformations, elles sont de nouveau
géométriquement non linéaires.
Cette classification des plaques n'est bien évidemment pas fixe mais elle montre
uniquement une certaine possibilité de simplification qui permet de notamment
réduire l'étude analytique tout en conservant une précision satisfaisante du
fait de l'imprécision des autres études (imprécision du montage, traitement,
constantes de matériaux etc.)
Le schéma illustre la dépendance de la flèche sans dimension “y/t" sur la contrainte sans dimension “q*a^4/(E*t^4)" où :
y… flèche maximale
t… épaisseur de la plaque
q…contrainte continue
a…rayon de la plaque
E…module d'élasticité en traction
et les différentes courbes illustrent ensuite :
B) Plaques d'épaisseur moyenne (Kirchhoff)
C) Plaques fines (avec de grandes flèches)
D) Membranes
Dans ce graphe, on peut voir que pour de très petites flèches sans dimensions,
il est possible d'utiliser des simplifications acceptées pour les « Plaques
d'épaisseurs moyennes ». Pour de plus grandes flèches sans dimensions, il est
nécessaire de sélectionner le type de calcul pour les « plaques fines ».
Le graphe montre également qu'il n'est pas possible de nettement déterminer les
limites de chacun des modèles de calcul. Cela dépend de l'erreur que nous sommes
prêts à accepter. Si l'erreur acceptable est désignée comme delta, alors il est
possible de désigner les limites respectives de chacun des modèles de calcul. Il
est possible de procéder de la même façon pour la tension que pour la flexion
(voir schéma).
Pour une application pratique, il est bon de connaître au moins la position de
la limite entre les modèles de calcul (B et C). Si vous souhaitez une erreur
inférieure à 5%, la flèche devrait être inférieure au tiers de l'épaisseur de la
plaque. Si vous souhaitez une erreur inférieure à 10%, la flèche devrait être
inférieure à la moitié de l'épaisseur de la plaque.
Estimation de l'erreur en fonction de la flèche en relation avec l'épaisseur de
la plaque :
| Flèche [% d'épaisseur] | Erreur [%] |
| 10% | 0.5% |
| 25% | 3% |
| 33% | 5% |
| 50% | 10% |
| 75% | 20% |
| 100% | 30% |
Comme le montre le schéma, lorsque le modèle de calcul B (Plaques d'épaisseur
moyenne) est utilisé et que la flèche sans dimension (flèche relative à
l'épaisseur) est grande, alors l'erreur grandit très rapidement. Même si
l'erreur choisie influence la sécurité, l'utilisation d'un mauvais calcul
entraîne un surdimensionnement et des constructions lourdes.
Les calculs et modèles suivants sont basés sur les hypothèses suivantes.
Lors du calcul de la flèche (tension, sécurité) d'une plaque circulaire ou rectangulaire, veuillez procéder comme suit :
Dans ce chapitre, choisissez les unités de calcul et sélectionnez le matériau proposé/contrôlé de la plaque.
Sélectionnez le système d'unités de calcul dans la liste de sélection. En passant d'une unité à l'autre, toutes les valeurs seront immédiatement recalculées.
Choisissez le matériau de la plaque correspondante dans la liste proposée. Si les constantes de matériau de votre matériau sont différentes des constantes de matériau indiquées à la ligne [1.3-1.8], décochez la case de la ligne [1.3] et insérez vos propres valeurs de matériau.
Sélectionnez le coefficient de sécurité exigé. Le choix du coefficient de sécurité n'a aucune influence sur le calcul de la flèche ou de la tension. Le coefficient de sécurité a une influence sur la proposition de contrainte maximale [2.5, 3.6, 4.6] ou sur l'épaisseur minimale de la plaque [2.2, 3.2, 4.2]. Le dépassement des coefficients partiels de sécurité est également contrôlé dans les différents paragraphes.
Ce calcul permet d'évaluer l'évolution de la flèche, de la tension, de l'inclinaison pour les plaques circulaires d'épaisseur moyenne, y compris les valeurs maximales. Il peut également proposer une épaisseur minimale ou une contrainte maximale pouvant être utilisée sur la plaque. La tension membranaire étant négligée pour ce type de calcul (voir partie théorique), il est indispensable de contrôler la flèche maximale qui devrait être inférieure à la moitié de l'épaisseur de la plaque. Pour une flèche supérieure à la moitié de l'épaisseur de la plaque, utilisez le calcul du paragraphe [5.0].
Dans la liste, choisissez un type de plaque répondant à vos conditions de contrainte et de bordure. La sélection effectuée, une illustration schématique de la plaque apparaît sur l'écran.
Insérez l'épaisseur de la plaque, le rayon extérieur ou le rayon intérieur. L'épaisseur de la plaque devrait être inférieure à 1/5 du rayon (1/10 du rayon pour une exigence plus importante de précision). Si vous appuyez sur la touche "<min", alors l'épaisseur de la plaque correspondante s'affiche sur la base du coefficient de sécurité inséré et des limites de résistance au glissement. Dans chacun des cas, il est nécessaire de contrôler la valeur maximale de flexion.
Insérez le rayon de contrainte. Selon le type de contrainte, le rayon de
contrainte est évalué ainsi :
Contrainte continue : La contrainte continue (constante ou linéairement
croissante) agit depuis les bordures de la plaque jusqu'au rayon de contrainte
saisi. Le rayon de contrainte peut être égal à 0 ou au rayon interne de la
plaque circulaire avec orifice.
Contrainte circulaire par la force : La force agit uniformément sur la
circonférence du rayon saisi. Dans le cas où le rayon de contrainte est
inférieure à la moitié de l'épaisseur de la plaque, il est remplacé par un rayon
dit équivalent ro'= (1.6*ro^2+t^2)^0.5-0.675*t, ce qui permet l'utilisation de
formules classiques pour le calcul de la tension.
Insérer la grandeur de la force qui agit de façon continue sur le rayon de la contrainte. Pour un autre type de contrainte que la force, le champ d'entrée est gris. Si vous appuyez sur la touche "<max", alors la force maximale est complétée sur la base du coefficient de sécurité exigé inséré et des limites de résistance au glissement. Dans chacun des cas, il est nécessaire de contrôler la valeur maximale de la flèche.
La contrainte peut être insérée de deux manières. Soit comme une pression, soit comme une force totale qui apparaît par l'effet de la pression sur la surface de la plaque. Sélectionnez la manière à l'aide du bouton sur cette ligne. Si vous appuyez sur la touche "<max", alors la pression (force) maximale est complétée sur la base du coefficient de sécurité exigé inséré et des limites de résistance au glissement. Dans chacun des cas, il est nécessaire de contrôler la valeur maximale de la flèche.
Insérez les différences de température entre la face supérieure et la face inférieure de la plaque.
La masse de la plaque peut par exemple être utilisée pour obtenir la contrainte continue par son poids propre.
Après un changement des valeurs initiales, il est nécessaire de recalculer les résultats. Le logiciel calcule progressivement toutes les valeurs sur cinquante points depuis r=0 jusqu'à r=a (ou depuis r=b jusqu'à r=a pour la plaque avec orifice). Ces valeurs sont complétées dans le tableau et elles sont utilisées pour obtenir la valeur maximale ou minimale de flèche et la valeur de la tension (voir résultat sur les lignes suivantes ymax, smax, SFmin). Ces valeurs de tableau sont également utilisées pour créer le graphe.
La flèche maximale de la plaque devrait être inférieure à la moitié de son épaisseur. Au vu de la méthode de calcul, l'erreur du résultat grandit plus rapidement pour des valeurs plus importantes. Vous trouverez des détails dans la partie théorique.
Dans le champ de saisie, insérez le rayon r sur lequel vous voulez trouver
les valeurs de flexion, d'inclinaison, de tension, etc… Vous trouverez les
résultats correspondants sur les lignes suivantes. Le champ vert indique
l'amplitude de rayon r que vous pouvez insérer. A l'aide du glisseur de droite,
vous pouvez simplement modifier la valeur du rayon r, la position est indiquée
sur le graphe par un trait rouge vertical.
L'affichage des valeurs dans le graphe est sélectionné à partir de la liste à
dérouler, située au dessus du glisseur.
Les conditions en bordure, qui sont valides pour le type de plaque donnée, son montage et sa contrainte sont indiquées sur cette ligne.
Ce calcul permet d'évaluer l'évolution de la flexion, de la tension, de l'inclinaison pour les plaques circulaires avec orifices central ainsi que les valeurs maximales. Les plaques sont d'épaisseur moyenne. Il peut également proposer une épaisseur minimale ou la contrainte maximale pouvant être utilisée sur cette plaque. La tension membranaire étant négligée pour ce type de calcul (voir partie théorique), il est indispensable de contrôler la flèche maximale qui devrait être inférieure à la moitié de l'épaisseur de la plaque. Pour une plus grande flèche, l'erreur de calcul augmente rapidement (voir partie théorique Aide).
Dans la liste, choisissez un type de plaque répondant à vos conditions de contrainte et de bordure. La sélection effectuée, une illustration schématique de la plaque apparaît sur l'écran.
Insérez l'épaisseur de la plaque, le rayon extérieur ou le rayon intérieur. L'épaisseur de la plaque devrait être inférieure à 1/5 du rayon (1/10 du rayon pour une exigence plus importante de précision). Si vous appuyez sur la touche "<min", alors l'épaisseur de la plaque correspondante s'affiche sur la base du coefficient de sécurité inséré et des limites de résistance au glissement. Dans chacun des cas, il est nécessaire de contrôler la valeur maximale de flexion.
Insérez le rayon de contrainte. Selon le type de contrainte, le rayon de
contrainte est évalué ainsi :
Contrainte continue : La contrainte continue (constante ou linéairement
croissante) agit depuis les bordures de la plaque jusqu'au rayon de contrainte
saisi. Le rayon de contrainte peut être égal à 0 ou au rayon interne de la
plaque circulaire avec orifice.
Contrainte circulaire par la force : La force agit uniformément sur la
circonférence du rayon saisi. Dans le cas où le rayon de contrainte est
inférieure à la moitié de l'épaisseur de la plaque, il est remplacé par un rayon
dit équivalent ro'= (1.6*ro^2+t^2)^0.5-0.675*t, ce qui permet l'utilisation de
formules classiques pour le calcul de la tension.
Insérer la grandeur de la force qui agit de façon continue sur le rayon de la contrainte. Pour un autre type de contrainte que la force, le champ d'entrée est gris. Si vous appuyez sur la touche "<max", alors la force maximale est complétée sur la base du coefficient de sécurité exigé inséré et des limites de résistance au glissement. Dans chacun des cas, il est nécessaire de contrôler la valeur maximale de la flèche.
La contrainte peut être insérée de deux manières. Soit comme une pression, soit comme une force totale qui apparaît par l'effet de la pression sur la surface de la plaque. Sélectionnez la manière à l'aide du bouton sur cette ligne. Si vous appuyez sur la touche "<max", alors la pression (force) maximale est complétée sur la base du coefficient de sécurité exigé inséré et des limites de résistance au glissement. Dans chacun des cas, il est nécessaire de contrôler la valeur maximale de la flèche.
Insérez les différences de température entre la face supérieure et la face inférieure de la plaque.
La masse de la plaque peut par exemple être utilisée pour obtenir la contrainte continue par son poids propre.
Après un changement des valeurs initiales, il est nécessaire de recalculer les résultats. Le logiciel calcule progressivement toutes les valeurs sur cinquante points depuis r=0 jusqu'à r=a (ou depuis r=b jusqu'à r=a pour la plaque avec orifice). Ces valeurs sont complétées dans le tableau et elles sont utilisées pour obtenir la valeur maximale ou minimale de flèche et la valeur de la tension (voir résultat sur les lignes suivantes ymax, smax, SFmin). Ces valeurs de tableau sont également utilisées pour créer le graphe.
La flèche maximale de la plaque devrait être inférieure à la moitié de son épaisseur. Au vu de la méthode de calcul, l'erreur du résultat grandit plus rapidement pour des valeurs plus importantes. Vous trouverez des détails dans la partie théorique.
Dans le champ de saisie, insérez le rayon r sur lequel vous voulez trouver
les valeurs de flexion, d'inclinaison, de tension, etc… Vous trouverez les
résultats correspondants sur les lignes suivantes. Le champ vert indique
l'amplitude de rayon r que vous pouvez insérer. A l'aide du glisseur de droite,
vous pouvez simplement modifier la valeur du rayon r, la position est indiquée
sur le graphe par un trait rouge vertical.
L'affichage des valeurs dans le graphe est sélectionné à partir de la liste à
dérouler, située au dessus du glisseur.
Les conditions en bordure, qui sont valides pour le type de plaque donnée, son montage et sa contrainte sont indiquées sur cette ligne.
Ce calcul permet de trouver la flèche maximale et la tension maximale pour les plaques rectangulaires. Les plaques sont d'épaisseur moyenne. La flèche maximale de la plaque devrait être inférieure à la moitié de son épaisseur. Pour une flèche supérieure à la moitié de l'épaisseur de la plaque, utilisez le calcul du paragraphe [6.0]. Pour une plus grande flèche, l'erreur de calcul augmente rapidement (voir partie théorique Aide).
Dans la liste, choisissez un type de plaque répondant à vos conditions de contrainte et de bordure. La sélection effectuée, une illustration schématique de la plaque apparaît sur l'écran.
Insérez l'épaisseur de la plaque, le côté le plus long et le côté le plus court. L'épaisseur de la plaque devrait être inférieure à Ľ de la plus petite dimension transversale (1/10 pour une plus grande exigence de précision). Si vous appuyez sur la touche "<max", alors la force maximale est complétée sur la base du coefficient de sécurité exigé inséré et des limites de résistance au glissement. Dans chacun des cas, il est nécessaire de contrôler la valeur maximale de la flèche.
La force agit uniformément sur la circonférence du rayon saisi. Dans le cas où le rayon de contrainte est inférieur à la moitié de l'épaisseur de la plaque, il est remplacé par un rayon dit équivalent ro'= (1.6*ro^2+t^2)^0.5-0.675*t, ce qui permet l'utilisation de formules classiques pour le calcul de la tension.
Insérer la grandeur de la force qui agit de façon continue sur le rayon de la contrainte. Pour un autre type de contrainte que la force, le champ d'entrée est gris. Si vous appuyez sur la touche "<max", alors la force maximale est complétée sur la base du coefficient de sécurité exigé inséré et des limites de résistance au glissement. Dans chacun des cas, il est nécessaire de contrôler la valeur maximale de la flèche.
La contrainte peut être insérée de deux manières. Soit comme une pression, soit comme une force totale qui apparaît par l'effet de la pression sur la surface de la plaque. Sélectionnez la manière à l'aide du bouton sur cette ligne. Si vous appuyez sur la touche "<max", alors la pression (force) maximale est complétée sur la base du coefficient de sécurité exigé inséré et des limites de résistance au glissement. Dans chacun des cas, il est nécessaire de contrôler la valeur maximale de la flèche.
La masse de la plaque peut par exemple être utilisée pour obtenir la contrainte continue par son poids propre.
La flèche maximale de la plaque devrait être inférieure à la moitié de son épaisseur. Au vu de la méthode de calcul, l'erreur du résultat grandit plus rapidement pour des valeurs plus importantes. Vous trouverez des détails dans la partie théorique.
Si le calcul des plaques circulaires au paragraphe [2.0] indique que la flèche de la plaque est supérieure à la moitié de l'épaisseur de la plaque, il est alors adapté d'analyser la flexion de la plaque dans ce chapitre. Dans ce calcul, on prend en compte la tension membranaire, ce qui augmente la précision du calcul.
Dans la liste, choisissez un type de plaque répondant à vos conditions de contrainte et de bordure. La sélection effectuée, une illustration schématique de la plaque apparaît sur l'écran.
Insérez l'épaisseur de la plaque et le rayon extérieur. L'épaisseur de la plaque devrait être inférieure au 1/5 du rayon (1/10 du rayon pour une plus importante exigence de précision).
Insérez la grandeur de la force qui agit sur la petite surface circulaire au centre. Pour un autre type de contrainte que la force, le champ d'entrée est gris.
La contrainte peut être insérée de deux manières. Soit comme une pression, soit comme une force totale qui apparaît par l'effet de la pression sur la surface de la plaque. Sélectionnez la manière à l'aide du bouton sur cette ligne.
La masse de la plaque peut par exemple être utilisée pour obtenir la contrainte continue par son poids propre.
Si le calcul des plaques rectangulaires au paragraphe [4.0] indique que la flèche de la plaque est supérieure à la moitié de l'épaisseur de la plaque, il est alors adapté d'analyser la flexion de la plaque dans ce chapitre. Dans ce calcul, on prend en compte la tension membranaire, ce qui augmente la précision du calcul.
Dans la liste, choisissez un type de plaque répondant à vos conditions de contrainte et de bordure. La sélection effectuée, une illustration schématique de la plaque apparaît sur l'écran.
Insérez l'épaisseur de la plaque, le côté le plus long et le côté le plus court. L'épaisseur de la plaque devrait être inférieure à Ľ de la plus petite dimension transversale (1/10 pour une plus grande exigence de précision).
La contrainte peut être insérée de deux manières. Soit comme une pression, soit comme une force totale qui apparaît par l'effet de la pression sur la surface de la plaque. Sélectionnez la manière à l'aide du bouton sur cette ligne.
La masse de la plaque peut par exemple être utilisée pour obtenir la contrainte continue par son poids propre.
L'information sur l'arrangement des paramètres de calcul et de la langue peut être trouvée dans le document "Réglage des calculs, changement de langue".
Les informations générales sur la façon dont vous pouvez modifier et prolonger les cahiers de travail sont mentionnées dans le document "Modifications du cahier de travail (calcul)".